什么是实数(如何理解实数的连续性)

什么是实数(如何理解实数的连续性)

很多人都知道，在实数的范围内，每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；相反，数轴上的每个点代表一个实数。我们说实数一一对应数轴上的点。

什么是一一对应？数轴上有无数个点，可以说是“密密麻麻”。实数无数，数字不清。有理数和无理数构成实数。当原点、单位长度和方向设置在一条直线上时，该直线成为数轴。所以数轴上的每个点代表一个实数，每个实数可以用数轴上的一个点来表示。实数可以连续变化，即点可以在数轴上连续移动。

比如整数从小到大的变化是跳跃的，从整数1到整数2，中间没有任何整数；但是有理数从1变到2，密密麻麻，跨越很多分数。似乎没有“空白”，中间似乎也没有跳跃。其实有理数从L到2并不是连续变化的，因为很多无理数都是在中间交叉的，比如2的算术平方根。

因此，有理数Baxter网和无理数之间的“空白部分”构成实数，实数可以连续变化。这种连续性可以说是变量x从1变为2，这意味着x必须取1到2之间的所有实数。

我们想象用一把剪刀把数轴剪开，把百特网的数轴剪成两段，那么剪刀肯定会在某个点上剪开，也就是剪开某个实数。如果剪刀只剪在一个缺口上，就说明实数不是连续的。

这时，有些读者会有疑问。如果没有缝隙，应该剪在哪里？如果在某一点切，这个点在数轴的哪一半？我们假设它是从数轴点A切下来的，那么这个点不是在左半部，而是在右半部。因为点是分不开的，不会同时消失，不会两面都有，也不会两面都不存在。因此，无论数轴在哪里分成两半，总有一半有端点，而另一半没有端点。从这个假设中，我们可以理解数轴和实数的连续性。

如果所有负有理数放在一起形成A集，所有正有理数形成B集，那么A集没有最大数，B集没有最小数。如果你在两组之间切一把刀，它会在接缝处被切开。然而，在实数系统中，这个缺口被无理数填满了。

这样就把有理数分成A和B两部分，使B中的每个数都大于A中的每个数，这种除法方法称为有理数的德德金除法。有理数的每个分区决定了巴克斯特网络的实数。有间隙的分割决定无理数，无间隙的分割决定有理数。这种建立实数系的方法是由德国数学家戴德金(1831 ~ 1916)(原创www.isoyu.com版权)提出的。

我们把所有的实数分成两个非空集合A和B，如果集合A中的任意一个数A小于集合B中的任意一个数B，或者集合A中有最大的数，或者集合B中有最小的数，那么这两种情况中必然有一种存在，而且只有一种，这就叫做实数的连续性。