四色定理（轰动全球的四色问题）
1、“四色料想”的由来
1852年，刚从大学毕业的学生弗南西斯葛斯里，在对英国地图着色的时候，发明一个很有趣的现象。对无论多么庞杂的地图，只消用四种色调就足以将相邻区域离开。弗南西斯觉得这绝不是一个偶然现象，其中说不定隐蔽着某种深入的科学道理哩。他把自己的想法告知胞兄弗德雷克葛斯里，请他解决。后者是有名数学家德摩根教授的学生。他对弟弟提出的问题很感兴致，并灵敏地觉得，这个地图着色问题很可能是个数学问题，于是预备给出数学证明。尽管他绞尽脑汁，却百思不得其解。当年10月23日，弗德雷克第一次用数学的情势作为“四色定理”要求德摩根给以证明。摩根教授对自己的学生所提出的定理有着浓重的兴致，当即写信将这事告知了他在三一学院时的学友、有名数学家和物理学家哈密尔顿爵士: “我的一个学生2021-09-28 要我为他供给一个充足的理由，来解释一件我自己还无法判明毕竟是对的还是错的事实。他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界限的两部分要涂上不同的色彩。那么，大概须要四种色彩，而不须要更多的色彩就可以了。请问：难道不能够结构出一个须要五种或者更多种色彩的图么？
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摩根教授期望这位智慧超人的超复数的缔造者能够给出答案。哈密尔顿爵士基本没有想到，一个学生提出的这样一个简简略单的问题，居然会如此意想不到的艰苦。他经过长达13年的冥思苦索，直到1865年去世为止，对此染色定理，始终一筹莫展，毫无成果。
哈氏逝世后13年，1878年6月13日，一位当时很著名望的数学家凯莱，在数学年会上宣读他曾在伦敦数学会会刊上发表过的一篇文章时，将上述问题归纳为“四色料想”。并在 1879年英国皇家地理会开办的第一期会刊上，再次提及这个“料想”，征求对这一“料想”的准确解答。
川凯莱的文章和讲话，引起了很大的反应，吸引了一大量很有才干的有志之士去摸索这一难题的奥秘。值得一提的是，在这群有志之士中，有的人并不是以数学为专业的，而仅仅是对“四色料想”着了迷而改攻数学的。这便是轰动全球的“四色料想”的由来。
图2
2、发扬风气的游戏
自凯莱归纳出“四色料想”后，恰好一年光景，律师出生而改钻数学的数学家肯普写成一篇论文，给出了第一个证明。证明发表以后、人们广泛以为“四色难题” 已成为历史，“料想”已变为现实。不料11年后，到了1890年，有位年仅20岁的后起之秀希伍德，指出肯普的证明是毛病的。这样一来， “四色料想”依旧悬而未决(原创www.isoyu.com版权)。希伍德在指出肯普律师的毛病时，也确定了他的成就，并且还采取肯普在论文中供给的办法胜利地证明了“五色定理”。
经过这次曲折，研讨“四色料想”的情感更加振奋起来。热衷这一难题的有志者比比皆是。为了让人们凭直觉在客观上证实这个料想必定成立，数学家斯蒂芬还设计出一种盛行一时的“染色游戏”。游戏由两人（或多人）加入，第一人任画一闭合区域，由对手着色；着完色后，后者再画一闭合区域让对手（或是第三者）染色，如此循环进行。游戏规定，不论谁，若着色完毕并画出闭合区域后，迫使后继者非染第五种色调不可时，便判谁为负。这个规定很有意思，全部游戏中，每次染色都得为后继者着想，不能迫使他用第五种色。如图3，百思特网当E区画定时，D区只能染黄色。否则，由于E区与前四区相邻，后继者非染第五种色彩不可。这充足表明，要想迫使对方非染第五种色彩，那真是易如反掌。 可是，游戏规定，谁这样作谁便为负。所以，必需时刻发扬作风，能力使自己立于不败之地。
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那么，是否只要切实地注意发扬作风，就确切能立于不败之地呢？据说，自提倡染色游戏以来，没有谁真正负过一次。这在客观上便活泼表明：不管闭合区域多么庞杂、多么怪，只用四色涂染，相邻区域确定能离开。换句话说，“四色料想”的必定成立是毫无疑义的。
但是，游戏究竟是游戏，它只能解释四色料想成立与否的趋向性，怎么也不能用游戏去取代科学证明。那么，在理论上得如何下手去证明呢？长时代来，成千上万的数学工作者和喜好者深为这一难题所困扰。
3、耐人寻味的插曲
在“四色料想”的进军途中，有着不少耐人寻味的插曲。有位才思过人、谦逊稳重、名誉高尚的名数学家，一度担负过爱因斯坦数学导师的闵可夫斯基教授，也因歧视这一问题的难度而闹出过一则小笑话。
事情是这样的。有一次，他正给苏黎士大学的研讨生们上课，一时髦起，谈起“四色问题”来。他满不在乎地说： “四色料想之所以一直没有获得解决，究其缘由是因为当今世界第一流的数学家们，还没来得及研讨它。其实，要解决这一料想，并不见得会有多难。”说着便拿起粉笔，即兴推演，潜认为能一挥而就，当场解决这一难题。他一口吻写了几黑板，没料到越写情形越庞杂，越讲头绪越繁多，讲着讲着，不由自主地“挂”起黑板来了。虽然如此，教授毫不灰心，他坚信自己确有才能揭开奥秘，决不轻率收兵。第二天、第三天……一连几天都接着讲，接着算，接着写。同样，每一次都“挂”黑板，而且一次比一次更狼狈。闵可夫斯基对证明这一料想所需的工作量远远估量不足，成果， “马克松”式的一连“挂”了几个星期黑板，搞得他焦头烂额，不得不中途百思特网告吹。几里期后的一天上午，他疲乏不堪地走进教室。这时，正值雷电交加，大雨倾盆，闵可夫斯基十分愧疚地说： “唉！看来，上帝在责备我傲慢自大！四色料想真难呀，我简直拿它毫无方法！”
图4
从闵可夫斯基为“四色料想”空前受挫之后，“四色问题”与“费马大定理”、“哥德巴赫料想”齐名，即使人津津有味，又令人望而生畏。
4、“四色定理”的例证
对“四色定理”，要给出一般证明的确不是轻而易举的事。但是对若干特别情况，我们不难给出完满的证明。为了给读者供给资料，现在就正十二面体可用四色涂染作为例证 以窥一斑。
为了画图便利和直观起见，将正十二面体经过“开孔”，“展开”，“摊平”，画成平面网络（图5）。
并且商定：1号面为“前面”，12号面为“背面”，2至6号面称为“第一环面”，7至11号面称为“第二环面”。另外，若通过正十二面体的一个旋转，可以将两种涂色办法的同色面完整重合时，则将这两种涂色计划看成是雷同的。有了这些规定之后，我们就可以证明下述定理：用四色涂染正十二面体，有且仅有四种不同的染色计划。
图5
可分三个步骤进行推证：
第一步，对正十二面体着色，不管任何计划，四种色彩中每种都恰好应用三次（请读者想想这是为什么？）。
第二步，显然，1号面与12号面决不能同色。并且，1号面色调必与第二环面中应用两次的颜色相合；12号面必与第一环面涂染两次者同色。这显然表明，当第一环面与背面的颜色染定时，就只能依照唯一的一种染色办法给其余各面涂上色彩。
第三步，从图6可知，用四种色彩对正十二面体着色，一共只有十二种计划。图中每一行所列的四种计划是互不雷同的，而每列所示的三个计划皆可通过旋转而重合。因此证明，只有四种不同的染色计划。
图6
5、科学史的殷切嘱望
上例解释，一张地图中，国度的个数不超过12时，四色定理确切是成立的。这一胜利，激发人们不懈地去进步图中国度数量的上限：1922年，有人证明了，一张图中国度的个数不超过25时，四色定理成立；1938年，有人把国度数量进步到32; 1940年，国度数量进步到35; 1969年，上限推到39。这就是说，1922年到1969年将近半个世纪，使“四色定理”得以成立的国度数仅仅进步了14个。这样，要想否认“四色料想”，至少得设计一张包含40个相邻的闭合区域才有可能。
图7
与此同时，还有人从另一方面开拓途径，提出一系列与四色料想“等价”的料想。只要这些“等价”料想中的任意一个得到证实，那么，四色料想即告解决。1972年，有人在一篇论文中，对这类“等价”料想，一口吻列出13个之多，可是谁也没能打开缺口，闯出新路。到了二十世纪七十年代中期，美国伊利诺斯大学数学家阿沛尔教授和哈肯教授独树一帜，他们百思特网采取肯普当年创建的“不可避免性”与“构形可约性”这一根本思想，启动三台1BM360型超高速电子盘算机（这是大学毕业生柯奇专为阿沛尔和哈肯装配的），运转1200个机时，进行了两百亿次逻辑判定，终于在1976年9月获得“四色定理”的证明。为了纪念阿沛尔和哈肯的功劳，伊利诺斯大学城乌尔班纳邮局，在宣布“四色定理”已经获证资讯的当天，便加盖了纪念邮戳"FOUR COLORS SUFFICE!"（只要四种色彩就够了）借以记载下这亘古以来 的奇迹，同时，及时将胜利的喜讯传遍全球。
尽管“四色料想”在大型超高速电子盘算机的赞助下奇迹般地变成了“四色定理”，但四色问题并未因此而宣布停止。我们知道，数学证明的传统作风是简明严谨，笔墨可互施。这个启动超高速电子盘算机也要费上千个机时的“马拉松证明”能不能加以简化？不用盘算机械能不能给出证明？除了阿沛尔和哈肯的办法外，还存不存在其它的办法？所有这些，还摆在数学家和科学喜好者的面前！所有这些，还等待着人们去思索，去探求，去发明，去解决！所有这些，便是科学史赋予人类的殷切瞩望！