三角形重心(三角形重心的性质是什么)-14 07:04一智韩梅初中英语数学
1.关心:
< 1 >定义:它是三角形的三个高度的交点。
< 2 >性质:
【性质1】锐角三角形的圆心在三角形内；直角三角形的中心在直角的顶点；钝角三角形的中心在三角形之外。
【性质2】三角形的竖心是其竖足三角形的心；或者说，三角形的心就是它旁边的三角形的中心。
【性质3】关于三边重心o的对称点都在△ABC的外接圆上。
【性质4】在△ ABC中，一个圆有六组四个点，三组(每组四个)相似的直角三角形。
【性质5】o、a、b、c四点中的任意一点是顶点为其他三点的三角形的中心(而这样的四点称为-中心-中心群)。
【性质6】△ABC、△ABO、△BCO和△ACO的外接圆是等圆。
【性质7】三角形任意顶点到垂直中心的距离等于外中心到对边距离的两倍。
【性质8】设O和H分作外中心和△ABC的中心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
【性质9】锐角三角形的竖心到三个顶点的距离之和等于其内切圆和外接圆半径之和的两倍，即AH+BH+CH = 2(r+R)。
【性质10】锐角三角形的竖心是竖足三角形的心；在有锐角的内接三角形中(顶点在原三角形的边上)，竖脚三角形的周长最短。
【性质11】设h为非直角三角形的法心，d，e，f分作h在BC，ca，ab上的投影。H1、H2和H3被分离成△AEF、△BDF和△CDE的正规中心，然后△DEF≔△H1 H2 H3。
【性质12】技术资源网三角形的以H为垂心的垂足三角形的三条边平行于原三角形的外接圆在各顶点的切线分开。
2.心
〈1〉定义:是三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心。
即AE、BF、CD被角BAC、角ABC、角BCA二等分，AE、BF、CD相交于点O，该点为△ABC的心脏。
< 2 >性质:
【性质1】三角形的心到三边的距离相等，等于内切圆技术资源网的半径r。
【属性2】BOC = 90+BAC/2。
【性质3】在Rt△ABC，∠A = 90°时，若三角形的内切圆将BC切至D，则S△ABC=BDxCD。
3.重心:
< 1 >重心的定义:重心是三角形的三条中线的交点。
< 2 >重心的性质:
【性质1】三角形的重心到一条边的中心到这条边对面顶点的距离之比为1:2，即OD:OA = 1:2；
OE:OC = 1:2；
OF:OB = 1:2 .
【性质2】重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形的面积相等，即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三边的距离与三边的长度成反比。
【性质3】重心到三角形三个顶点的距离的平方和最小。
【性质4】在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均值。即在△ABC中，若点A(X1，Y1)，B(X2，Y2)，C(X3，Y3)，则重心点O的坐标为{(X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3}。
4.外部心脏:
< 1 >圆心的定义:圆心是三角形三条边的中垂线的交点，即外接圆的圆心。
< 2 >外部心脏的性质:
【性质1】若o为△ABC的外中心，则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360-2∠A(∠A为钝角)。
【性质2】当三角形为锐角三角形时，外圆心在三角形内部；三角形为钝角时，外圆心在三角形之外；当三角形是直角三角形时，外中心在斜边上，与斜边的中点重合。
【性质3】外中心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。
5.侧心:
< 1 >侧心的定义:
是三角形的两个外角平分线和一个内角平分线的交点。
< 2 >侧心的性质:
【性质1】三角形的边中心到三边的距离相等，即OE=OF=OG。
【性质2】任何三角形都有三个侧心，不相邻内角的平分线都穿过侧心。
【性质3】任何三角形都有三个边切圆和三个边心。心必须在三角形之外。即⊙O1、⊙O2和⊙O3是△ABC的三个边切圆，01、02、03是△ABC的三个边心，都在△ABC之外。
【性质3】直角三角形斜边上的外接圆半径等于三角形周长的一半{若△ABC为Rt△，∠A=90度，⊙O1为斜边BC上的外接圆，则此外接圆半径R1=1/2(AB+BC+AC)}。