高中数学导数(高中数学导数知识点总结及应用)

/ 0评 / 0

高中数学导数(高中数学导数知识点总结及运用)

一. 导数概念的引入

1. 导数的物理意义:

瞬时速率。一般的,函数y=f(x)在x=处的瞬时变更率是

2. 导数的几何意义:

曲线的切线,当点趋近于P时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割线的斜率是

当点趋近于 P 时,函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k,即

3. 导函数:

当x变更时,便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数. y=f(x)的导函数有时也记作,即

二. 导数的盘算

根本初等函数的导数公式:

导数的运算法则:

复合函数求导 :

y=f(u)和u=g(x),则称y可以表现成为x的函数,即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研讨函数中的运用

1. 函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内

(1) 如果>0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递增;

(2) 如果<0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减;

2百思特网. 函数的极值与导数:

极值反应的是函数在某一点邻近的大小情形。

求函数y=f(x)的极值的办法有:

(1)如果在邻近的左侧>0 ,右侧<0,那么是极大值;

(2)如果在邻近的左侧<0 ,右侧>0,那么是极小值;

3. 函数的最大(小)值与导数:

求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:

(1)求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;

(2) 将函数y=f(百思特网x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比拟,其中最大的是最大值,最小的是最小值。

四. 推理与证明

(1)合情推理与类比推理

依据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特别到一般的进程,它属于合情推理。

依据两类不同事物之间具有某些相似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物相似的性质的推理,叫做类比推理。

类比推理的一般步骤:

(1) 找出两百思特网类事物的类似性或一致性;

(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明白的命题(料想);

(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上雷同或类似,那么他们在另一写性质上也可能雷同或相似,类比的结论可能是真的;

(4) 一般情形下,如果类比的类似性越多,类似的性质与推测的性质之间越相干,那么类比得出的命题越可靠。

(2)演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特别命题的进程,这种推理称为演绎推理。

(3)数学归纳法

1. 它是一个递推的数学论证办法。

2. 步骤:

A. 命题在 n=1(或)时成立,这是递推的基本;

B.假设在 n=k 时命题成立;

C. 证明 n=k+1 时命题也成立。

完成这两步,就可以判断对任何自然数(或n≥,且n∈N)结论都成立。

证明办法:1、 反证法;2、剖析法;3、综合法;

解题技能

热门考向一导数在方程中的运用

[典例1]

已知函数f(x)=x2-(a+4)x-2a2+5a+3(a∈R).

(1)当a=3时,求函数f(x)的零点;

(2)若方程f(x)=0的两个实数根都在区间(-1,3)上,求实数a的取值规模.

[办法规律]

应用导数解决函数零点(方程的根)问题的重要办法

(1)应用导数研讨函数的单调性和极值,通过对极值正负的讨论研讨根的问题;

(2)应用数形联合研讨方程的根;

(3)应用导数联合零点定理研讨根的存在问题;

(4)转化为不等式(原创www.isoyu.com版权)或最值问题解决函数零点问题.

热门考向二导数在不等式中的运用

[办法规律]

应用导数解决不等式问题的类型

(1)不等式恒成立:根本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题.

(2)比拟两个数的大小:一般的思路是把两个函数作差后结构一个新函数,通过研讨这个函数的函数值与零的大小肯定所比拟的两个数的大小.

(3)证明不等式:对于只含有一个变量的不等式都可以通过结构函数,然后应用函数的单调性和极值解决.