万有引力定律公式(万有引力定律是如何得到的?)
01
导言
世界上有多少种力?
迄今为止,人类发明自然界中一共有四种根本相互作用力,包含引力,强力,弱力和电磁力,而引力是其中发明最早、运用最广的一个。
但是,对于引力的实质的说明,却成了目前科学界最头疼的问题之一,可以这么说,科学界最愿望解决的问题排行榜上,“引力的实质是什么?”这个问题,可以排到前5的地位。
有名的硬核科幻电影《星际穿越》中,就把解决引力问题,设定为解决人类生存问题的终极办法——这本身就是一种科学素养的深度体现。
《星际穿越》剧照
今天我们不去讲引力是什么的问题,而是要讲,万有引力定律最百思特网初是如何发明的问题。
这个发明重要归功于我们巨大的牛顿;但是,正如牛顿自己所说,他是站在伟人的肩膀上的,这些伟人也对万有引力的发明起着至关主要的作用。
下面具体介绍。
02
第谷与开普勒
牛顿对万有引力定律的推导,是树立在数据剖析的基本上的。
完成数据收集的是大天文学家第谷,完成数据的第一手剖析和整顿的是,第谷的学生,开普勒。
第谷是一个非常勤恳的天文学家,他三十年如一日地记载星象,形成宏大的数据集;
开普勒继承了老师的勤恳,对这些数据进行了盘算和整顿——这些盘算是非常枯燥的——最终得到三个定律,被后人称为开普勒三大定律。
牛顿的万有引力定律,最初就是脱胎于开普勒三大定律(当然,毫无疑问,牛顿天才的力学三大定律才是决议性的)。下面简略介绍一下,开普勒三大定律:
开普勒第必定律:
行星绕太阳活动的轨迹是一个椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点。
开普勒第二定律:
行星和太阳的连线,单位时光扫过的面积是必定的。
开普勒第三定律:
行星绕太阳运转的周期T和轨道半长轴R之间,满足以下关系:
注意:这个常数,只和太阳有关,和行星本身无关。
推导万有引力定律,最重要的,就是运用这个开普勒第三定律。
03
牛顿的力学三大定律
牛顿自己的三大定律,当然是推导万有引力最症结的一环。
牛顿树立物理学的基本——力学;
而力学的基本就是——力学三大定律,分离被称为牛一、牛二、牛三。
牛顿第必定律:
牛一,也被称为惯性定律:物体在不受力的情形下,总会坚持本来的活动状况不变,直到有外力来转变它。物体的这种,坚持原有活动状况不变的才能,被称为惯性。
惯性只与质量有关,质量越大,惯性越大。
从现代物理的角度回看,牛一其实是用“惯性”定义了“什么是质量”,这种质量被称为惯性质量。
甩出水,是因为惯性
牛顿第二定律:
牛顿第必定律定义了质量,牛顿第二定律又通过质量定义了力是什么。
力是什么百思特网呢?力就是,要转变一个有质量(即有惯性)的物体的活动状况,所须要施加的作用。包含大小和方向两个要素。
这个作用和物体的质量、物体活动状况转变的快慢(即加速度),三者之间满足一个非常简略的关系:
F=ma,这就是牛顿第二定律。
牛顿第三定律:
任何两个物体之间的作用,都是相互的。你对我有力,我对你也必定有力,而且这两个力大小相等,方向相反,在同一条直线上。
牛顿第三定律,就是我们熟知的作用力和反作用力的关系。
大炮的后坐力
04
万有引力的推导
上面我们介绍了推导万有引力所须要的基本定律,这里还须要一个活动学方面的公式,那就是圆周活动的向心加速度的表达式。
圆周活动向心加速度:
如果向心加速度知道了,依据牛顿第二定律,向心加速度乘以质量就是向心力。
可以这么简略的说,保持一个圆周活动,须要一个力,这个力被称为向心力。(注意,其实并不存在一个向心力,而是其他所有力的合力,被称为向心力——向心力,并不是某种具体性质的力,而是一个合外力的后果)
向心加速度的表达式如下图。
圆周活动向心加速度的表达式
不失一般性,把椭圆轨道当做圆轨道,则椭圆的半长轴就是圆的半径,设为R。
我们设地球和太阳之间的引力为F,太阳的质量为M,地球的质量为m,并且把开普勒第三定律中的常数用K来表现。
则依据牛顿第二定律:
地球受到的力(太阳对地球的力):
依据相互作用力的原理,太阳的受力(地球对太阳的力)也等于地球的受力(太阳对地球的力)。即:
此时联合开普勒第三定律:(把常数设为K)
简略联立上述方程,解得:
我们对这个式子剖析:
这个式子表明,太阳对地球的力,与地球的质量m有关,与地球和太阳之间距离的平方成反比,剩余影响因子,是一个跟太阳有关的常数K。即:
依据力的对称性,我们可以推断:地球对太阳的力,必定与太阳的质量M有关,与地球和太阳之间的距离的平方有关,剩余影响因子,是一个跟地球有关的常数K'。即:
中间的符号,是正比的意思。
依据牛顿第三定律百思特网,太阳对地球的力,等于地球对太阳的力,因此,我们联合两个结论:这个太阳和地球之间的力,必定和太阳的质量有关,又和地球的质量有关,和地日之间的距离有关。即:
以上式子,数学上等价于:
G是一个常数,被称为万有引力常数。
这个式子,就是牛顿的万有引力定律了!
至此,我们用简略的方程,不须要借助微积分,就推导出了万有引力定律了!
05
结语
万有引力定律的发明是牛顿最主要的贡献之一。
这个定律和牛顿力学三大定律一起,奠定了全部力学,乃至物理学的基本。
这个定律的发明,让我们人类的视野超过了天际,进入宇宙,进入太空。
虽然,引力的实质,目前还没有定论,但是,就万有引力定律而言,已经取得了伟大的胜利。
推导万有引力定律,剖析牛顿曾经的思路,是一件非常有意思的事情;而用简略的办法,推导巨大的定律,是我们人类最睿智、最冲动人心的表演。
(完)