圆的面积公式?(圆的面积公式是怎么得到的?)

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圆的面积公式(你是怎么得到圆的面积公式的?)

对于任何圆,它的面积s等于圆周率和半径平方r 2的乘积。或者,任何圆的面积与其半径的平方之比都是相同的常数-π。那么,这个结论是经过严格数学证明的,还是数学直觉?实际上,圆面积公式(s = r ^ 2)是可以用数学方法严格证明的,中国古代和古希腊的数学家都证明过。圆面积公式的证明方法有很多。这里有几个例子。

(1)限制方法1

如果一个圆被分成n个相等的部分,那么它被拼接成如下四边形:

当n趋于无穷大时,也就是圆被分成无穷多个相等的部分,那么四边形就会变成一个矩形。显然,这个矩形的长度是半圆周长(r),宽度是圆的半径(r)。这个矩形的面积等于圆的面积,所以圆面积的公式是:S=r?r=r^2。

但是,为了完成这个证明,必须先证明周长公式(C=2r)。基于类三角形原理,用几何方法很容易证明圆的周长与技术资源网直径之比是同一个常数,称为圆周率。

(2)极限方法2

将圆分成n等份,连接每个扇形内半径与圆的交点。并且假设每个扇形的中心角是2,那么2 = 2 = 2/n ^ n。

检查三角形OAB中的一个,可以根据三角函数得到,OC=rcos,AB = 2rsin,三角形OAB的面积为:

S△OAB=1/2ABOC=r^2sincos

当n趋于无穷大时,圆的面积可以表示为:

S=lim(n→+∞)nS△OAB

根据极限原理,可以计算出s = r 2。

(3)积分法1

严格来说,这也是一种极限方法,但这里的圆面积是由圆的方程(x ^ 2+y ^ 2 = r ^ 2)严格计算的:

(4)积分法2

如果圆被分成无数个厚度为dr的薄环,那么每个环的面积为2rdr,可以通过积分得到:

简而言之,圆面积的技术资源网与半径的平方之比是π,这已经被严谨的数学证明了,不是经验公式。