插值法公式（常用插值算法详解）

做图像处置的同窗应当经常都会用到图像的缩放，我们都知道图片存储的时候其实就是一个矩阵，所以在对图像进行缩放操作的时候，也就是在对矩阵进行操作，如果想要将图片放大，这里我们就须要用到过采样算法来扩展矩阵，如果想要缩小图片就应用欠采样。

如上图所示，左图是原图像矩阵，右图是扩展后的图像矩阵，右图中的橙色点表现的是矩阵扩展之后通过插值算法填充的像素值。所以，这篇文章我们重要探讨的就是如何来通过插值算法来填充像素值

相干函数介绍

在opencv中供给了一个resize函数用来调剂图像的大小，里面供给了好几种不同的插值算法，如下图所示

这里我们重要介绍最常用的前5中插值算法，最后两种插值算法重要是运用在仿射变换中，cv.WARP_FILL_OUTLIERS在从src到dst变换的时候可能会涌现异常值，通过这个设定可以将异常值的像素置0。而cv.WARP_INVERSE_MAP是运用在仿射变换的逆变换，从dst到src的变换，关于仿射变换的更多资料可以参考我的上篇文章一文搞懂仿射变换

插值算法后果比较

我们通过随机生成一个55的图片，然后通过不同的插值算法将其放大10倍之后，来比较最终图片的后果。

如果大家认为灰度图不便利视察，我们可以通过设置plt.imshow的cmap参数来掌握色彩，matplotlib供给了几种不同的类别的颜色映射方法

cmap的类别

• Sequential
  通常应用单一的色调，逐渐增长亮度和色彩，可以用来表现有序的信息

• Diverging
  通过转变两种不同的色彩的亮度和饱和度，在中间以不饱和的色彩相遇，通常来用绘制具有症结的中间值或者数据偏离零的信息

• Cyclic
  转变两种不同色彩的亮度，在中间和开端/停止以不饱和的色彩相遇，运用于在端点出围绕的信息。

• Qualitative
  用于表现没有关系和排序的信息

• Miscellaneous
  同上

这里我们为了便利视察不同插值算法之间的差别，我们可以选用杂色来来视察，这里我就随机选用了Set1，只须要将上面代码中的cmap改成了Set1即可

通过初步视察不同插值算法后的后果图片我们可以发明，最近邻插值和区域插值算法的后果，而线性插值、三次样条插值、Lanczos插值整体后果看起来差不多，不细致节部分还是有所差异，接下来我们就从这几种插值算法来剖析一下。

最近邻插值(Nearest Interpolation)

最近邻插值也称近端插值，是一种在一维或多维空间上进行多变元插值的简略办法。插值是一种通过已知的、离散的数据点，在规模内推求新数据点的进程或办法。最近邻插值算法选择距离所求数据点最近点的值，并且基本不斟酌其他相邻点的值，从而发生一个分段常数的内插值来作为所求数据点的值。

如上图所示，黑色的表现须要插入的值，它会选择距离它最近的P(x+1,y)的值来作为它的值。
如果距离四个点的距离都相等，最近邻插值会如何选择？

通过上图不难发明，当插入的值距离四个点都相等时，会选择距离最近的左上角的值，这是

因为图像坐标系的原点位于左上角。

线性插值(Linear interpolation)

这里的线性插值其实是指双线性插值，这种插值算法也是resize函数中默认应用的插值算法。
双线性插值，也被称为双线性内插。双线插值是对线性插值在二维坐标系上的扩大，用于对双变量函数进行插值，其核心思想是在两个方向上分离进行一次线性插值。为了赞助大家更好的懂得双线性插值算法，我们先来看线性插值
假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1)，我们想要得到该区间[x0,x1上任意地位x所对应y的值，如下图所示

我们可以求出直线的方程，然后将x坐标代入到方程就可以求出对应的y值，通过直线方程的两点式可以得到

然后我们依据已知的x，将其代入上式可得

在懂得线性插值以后，我们再来看看双线性插值
假如我们想得到未知函数fff在点P=(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11=(x1,y1)，Q12=(x1,y2)，Q21=(x2,y1)及Q22=(x2,y2)四个点的值

首先在x方向进行线性插值，应用Q11和Q21可以求得R1的y值，应用Q12和Q22可以求得R2的y值

仔细的同窗也许发明了，这个插值好像与线性插值并不是一模一样的，所以我们用的是≈而非=，这里其实采取的是一种加权平均算法联合两点来盘算其中一点的y值，重要是依据盘算点距离两个端点在x方向上的距离来盘算盘算点y值所占的比例。

接下来，我们再应用已经盘算出来的R1和R2来P点的插值，可得

细心视察上面的公式不难发明，其实PPP点的值等于周围四个点与P点所构成的四个对角矩形面积的加权平均

双三次插值(Bicubic interpolation)

双三次插值是一种更加庞杂的插值算法，是二维空间中最常用的插值算法，相对双线性插值的图像边沿更加平滑，函数f在点(x,y)的值可以通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，这里须要应用两个多项式插值三次函数，每个方向应用一个。
双三次插值通过以下公式进行盘算：

盘算系数aij的进程依附于插值数据的特征。如果已知插值函数的导数，常用的办法就是应用四个顶点的高度以及每个顶点的三个导数。一阶导数h′x与h′y表现x与y方向的表面斜率，二阶相互导数h''xy表现同时在x与y方向的斜率。这些值可以通过火别对x与y向量取微分得到。对于网格单元的每个顶点，将局部坐标(0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)代入这些方程，再解这16个方程。

看了上面这段话之后，貌似还是不太好懂得，接下来我们看一个例子，双三次插值常用的BiCubic函数如下图

上式中的a取-0.5即可，函数图像如下

看待插值的像素点(x,y)(x,y可为浮点数)，取其邻近的44百思特网范畴点(xi,yi)其中i,j=0,1,2,3。按下面的公式进行插值盘算：

例如，我们须要求解P点值，在P点周围有16个点

首先，我们请求出当前像素与PPP点的距离，比如a00距离P(x+u,y+v)的距离为(1+u,1+v)，那么我们可以得到a00对应的系数为(W(1+u),W(1+v))百思特网，所以a11的系数为(W(u),W(v))，a22的系数为(W(1−u),W(1−v))，a33的系数为W(2−u),W(2−v)，同理可以得到剩下点的系数，再依据上面的函数就可以求出P点的值。
关于双三次插值函数更加详细介绍可以参考：论文
http://www.ncorr.com/download/publications/keysbicubic.pdf

区域插值(Area interpolation)

区域插值算法重要分两种情形，缩小图像和放大图像的工作原理并不雷同。

• 缩小图像
  如果图像缩小的比例是整数倍，在调用INTER_LINEAR_EXACT插值算法时，如果图像的宽和高的缩小比例都是2，而且图像的通道数不是2，实际上会调用INTER_AREA。在调用INTER_LINEAR时，如果图像的宽和高的缩小比例都是2，实际上是会调用INTER_AREA。
  INTER_AREA实际上是个box filter，相似于均值滤波器。

• 放大图像
  如果放大图像的比例是整数倍，与最近邻插值类似。如果放大的比例不是整数倍，则会采取线性插值。

Lanczos插值

Lanczos插值属于一种模板算法，须要通过盘算模板中的权重信息来盘算x对应的值。对于一维信息，假如我们输入的点集为X，那么，Lanczos对应有个窗口模板Window，窗口中每个地位的权重盘算如下：

通常a取2或者3，当a=2时，该算法适应于图像缩小的插值。当a=3时，算法实用于图像放大百思特网的插值。依据盘算出来的权重信息，然后再依据xxx即可求出对应的加权平均：

插值算法耗时比拟

对于不同的插值算法，在缩放因子不同的时候，耗时会有所差别，具体对比如下表所示

总结

如果要缩小图像，推举应用INTER_AREA插值后果最好，如果要放大图像，INTER_CUBIC后果最好，但是速度较慢，可以斟酌应用INTER_LINEAR速度较快，后果也还不错。