直角三角形(图形的认识—直角三角形)

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直角三角形(理解图形-直角三角形)

勾股定理

在图形的学习中,直角三角形是最基本也是最重要的。可能正因为如此,几乎所有的古代文明都研究过直角三角形,在许多古代文明的历史文献中,都明确记载了与直角三角形边长密切相关的三个值:3、4、5。在中国,这三个数值最早记录在《周算书》中,书中说商高回答周公:

宽钩三,修股四,径角五。

也就是说,对于直角三角形,如果两个直角边(钩、股)的长度分成3和4,那么斜边的长度就是5。三国时期,赵爽在这个问题上给出了大致的结果,并在注释《周易注经》时证明了这一结果。假设两条直角边是A和B,斜边是C,那么三条边的关系是

a2+b2=c2 (1)

我们把上面的定理叫做勾股定理,我们把满足上面公式的整数解叫做勾股数,它是三个整数的数组。在西方,这个定理叫做毕达哥拉斯定理,这个数组叫做毕达哥拉斯数。显然,(3,4,5)是一组毕达哥拉斯数,也是最小的毕达哥拉斯数。发明于尼罗河三角洲,约公元前2000年的卡胡恩草纸有这样一个标题:

“把一个面积为100的大正方形分成两个小正方形,一边长是另一边长的四分之三”

这个答案只是一组毕达哥拉斯数字(6,8,10)。古埃及人是这样得到结果的:如果b=1,那么a=3/4,然后c=5/4可以从公式(1)中得到。现在,c=10,这是5/4的8倍,所以我们可以得到结论:a=(3/4)8=6,b=18=8。这里我们用的是“两个三角形相似当且仅当两个三角形的对应边成正比”这个命题,但这个命题是我们今天初中数学教学的难点之一,那么古埃及人是如何直观地得到这个命题的呢?我认为这可能是勾股定理的一个极好的应用。我们对这个问题的分析如下:

在我国初中数学《图形与几何》的教学中,只给出了多边形相似性的定义:如果两个多边形对应的角度相等,对应的边成比例,则称这两个多边形相似。显然,这个定义没有回答存在性,即没有给出“边与边之间任何给定的相似比例都存在相似多边形”的命题。这样,在将多边形相似性的定义应用于三角形时就会出现问题,因为对于两个相似的三角形,只有对应的边是成比例的。这意味着两个对应边成比例的三角形的对应角必须相等,但证明这个命题却相当繁琐,这也是中学数学教学中的难题之一。现在,我们试着回到古埃及人的思维。

首先,古埃及人清楚地知道,三角形是直角三角形的当且仅当毕达哥拉斯定理成立,也就是说,他们不仅知道直角三角形的三条边满足公式(1),还知道边满足公式(1)的三角形是直角三角形。数学史上的许多专家认为,古埃及人在建造金字塔时,用(3,4,5)毕达哥拉斯数字来决定直角。然后,对于两个三角形1和2,假设边长分为A、B、C和A、B、C,如图(1)(a)所示:

如果1是直角三角形,与2的对应边成正比,即a/A=b/B=c/C,从勾股定理可知,2也是直角三角形,且各角相等,这样就可以得到图(1)(b)。因此,我们知道这两个直角三角形是相似的,也就是我们直观地得到“两个直角三角形对齐时对应的边是相似的”这个命题。因为任何一个三角形都可以变换成两个直角三角形,所以不难得出“两个三角形对应的边成正比,则两个三角形相似”的一般结论。

在上面的计算中,使用了直角三角形的角关系,即在图(1)(a)中,有

∑=≈当且仅当b/a=B/A (2)

可以看出,上面的公式构造了三角函数的直观基础:如果任意两个直角三角形的锐角相等,那么两个直角三角形的直角边之比相应相等,即等角对应的直角边之比是一个常数。因此,人们可以定义这个常数值,例如,它被称为正切值,即公式(2)右侧的比值正好是角度(因而也是角度)的三角函数的正切值。可以看到,由于生产实践的需要,古埃及人发明了许多计算图形的长度、面积、体积和边角关系的方法。然而,更令人惊讶的是在两河流域的发明。有学者认为,古巴比伦人在公元前1600年以前制作了三角函数的正切表,这当然与毕达哥拉斯数有关。

古巴比伦

无尽的底格里斯河和幼发拉底河发源于今天的土耳其,流入波斯湾。这两条河流涌出美索不达米亚平原,孕育了两河流域的文明。公元前19世纪,在这片土地上建立了强大的巴比伦王国,首都在巴比伦,所以人们也把这里的文明称为古巴比伦。其实两河流域的文明已经延续了3000多年,而古巴比伦是两河流域文明最重要的组成部分,但并不是全部。关于巴比伦,希罗多德在《历史》中是这样描述的:

“这座城市位于一片大平原上,它的形状是方形的。每边有120个体育场长,所以周围有480个体育场。这座城市的规模如此之大,其风格是我们所知道的任何其他城市都无法比拟的。

中间有一条河把整个城市分成两部分。这条河就是幼发拉底河,这是一条又宽又深又湍急的河流。它起源于阿尔穆尼亚,流入红海。"

锡夫诺斯岛

长度单位约为211-224米。如果希罗多德的记载可靠,那么古巴比伦古城的长度约为26公里,所有城市的面积约为670平方公里,相当于现在的新加坡。这绝对是一个相当大的城市。然而,希罗多德《历史》中的许多记载并不可靠,也没有像司马迁《史记》那样经得起推敲。

我们说过,两河流域的人在泥板上刻楔形文字。在已发明的几十万块泥片中,约有300米与数学有关,包括一些数表,如乘法表、倒数表、方格表、立方表等。有一块叫“普林斯顿322”的泥板,上面记录了15组毕达哥拉斯数字。我们知道,即使在今天,要算出15组毕达哥拉斯数字也不容易,但这项工作是在公元前1900年到公元前1600年的古巴比伦时期完成的,真的很有感情。

现代科学技术已经相当发达,但是勾股定理今天仍然被广泛使用。该应用程序基于以下几何直觉,如图(2)所示:

图(2)

我们把直角三角形的斜边看作二维空之间的向量c→那么向量c→到直线L(一维空之间)的投影正好是a→,也就是说它对于直线L上的任意点D都是存在的。

||| C→-A→||≤|技术资源网|c→-d→||

这就解释了低维空之间的L中距离C最近的点是A,也就是说如果低维空之间的点是替换C,那么最合适的点就是A,我们可以把这个思路推广到一般的,也就是我们可以用挂钩技术资源网共享定理的方法,把一个高维空之间的向量c→投射到低维空之间的L中,这就为处理大规模数据或者多

我们可以看到,在日常生活和生产实践中,古埃及人、古巴比伦人和中国古人发明了这样适用且丰富多彩的经验几何,但他们并没有对发明的知识进行一般意义上的概括和抽象,因此没有总结出几何的一般概念和原理。事实上,正是古希腊人通过高度抽象相应的图形,思维严谨,雄辩地建立了几何学。