微积分入门(ap微积分历年真题)

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微积分入门(ap微积分历年真题)图灵教导2019-01-22 16:44:14

说起微积分,大家有什么印象?想必很多人会联想到辣手的盘算吧。甚至还会有人想到这种情景——在学校的测验中,只是因为盘算稍稍出错,就被大幅扣分,悲凉至极。

哎呀,这位姑娘似乎以为解决微积分问题,只要套用背诵的公式就足够了。这就是那种在学校的测验中控制了应试要领的典范人物。

不过,对于如何对待微积分,还存在像上面这位博士一样的一类人,虽然会盘算微积分更好,但最开端学习微积分时,重点并不在盘算上。

数学家是善于数学的人,所以他们也很善于盘算吧?不,不必定是这样的。令人意外的是,数学家不仅会有不少单纯的盘算失误,而且也常常会在思路上涌现毛病。

创建了组合拓扑学的天才数学家亨利庞加莱也是经常犯毛病的,据说就连他的论文中也存在不少毛病。

但是,庞加莱思考的方向在实质上是精确无误的。只要思考的方向准确,即使稍微出点儿错误,对整体而言也并不是致命的。在学校,测验之所以根据盘算成果的准确与否来肯定成就,是因为依据思路来给分数比拟艰苦。

同样,本文的着重点也放在了“思考的要领”上,我以为这是微积分的实质。微积分的实质在于办法。简略说,如果抓住思考的“要领”,那么就能轻而易举地懂得庞杂算式。思考的方向找对了,之后只要依据需求控制盘算技巧就可以了。

本文中几乎没有涌现积分符号。你可能会担忧,不用积分符号的话是否能够真正懂得相干内容。其实,先接触微积分的实质内容,之后涌现的公式、算式将会心外地变得易于懂得。

积分的存在意义

积分运用的基本

小学所学的图形面积、体积的盘算,实际上是与积分世界相连通的。积分之所以会涌现,是因为人类须要把握那些可见的东西,例如盘算物体的面积、体积等。

初等教导中的图形盘算,通常只针对长方形、圆形等规规则矩的图形。而现实情形中,这些知识往往难以直接去运用。

这是因为,现实世界中存在的物资,并非都是学校中学习的那些规矩的形状。相反,那些规矩的形状可以说只是例外或幻想化的情形。所以,对人类而言,测量现实情形中各种庞杂图形大小的技巧非常必要。

日本小学的家政课会讲解乌冬面、土豆块等简易料理的烹饪办法。之所以特地在学校中讲解这些内容,是因为这些都是烹饪中的基本办法。实际上我们自己做菜时,多会在商店中购置成品的乌冬面,也根本不会频繁烹制土豆块。但是,如果控制了这些基本烹饪办法的话,就能够烹制出更多庞杂的菜品。例如,乌冬面的烹饪办法可以应用到面包、比萨或者意大利面中,从土豆块中学到的办法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。

如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块,那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等运用性料理。多亏有了积分法,人类能力够盘算各种图形的面积和体积。应用积分,无论是多么奇异的形状,只要下工夫就能够盘算出成果,这真是伟大的提高。

将思考运用于实际,用自己的力气去推导面积、体积,这才是积分的乐趣,也是学习积分的真正意义。

所有图形都与长方形相通

图形的种类纷纷多样,其中面积盘算最为简略的就是“长方形”了。

说到这里,大家是不是想起了小学时初学面积盘算的情景?在图形面积盘算中,三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是放到长方形之后学习。长方形的面积仅用“长宽”就可以盘算,可以说是最简略、朴实的图形。顺便提一下,在数学世界中,正方形被看作是“一种特别的长方形”。

控制长方形面积的盘算办法后,就可以将其运用到三角形的面积盘算中。反过来说,如果不知道长方形面积的盘算办法,也就无法盘算三角形的面积。

这是因为,三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半”。依据图2可知,三角形的面积正好是对应长方形面积的一半,也就是说“三角形的面积=底高2”。

那平行四边形是什么情形呢?平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。

梯形的情形又如何呢?梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示,两个雷同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此,梯形的面积也是以长方形为基本盘算的,为“(上底+下底)高2”。

从三角形到平行四边形,再到梯形,虽然这三个图形看上去没什么直接关联,但它们的面积公式都是以长方形面积为基本推导出来的。

和变为了积分

盘算圆的面积时,小学中采取的办法是用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简略,就是因为方格纸的方格是正方形。

求圆的面积,要领是精致地划分圆。也就是说,划分的形状应当不限于正方形。因此,我们可以把圆分成“修长的短条”来求面积。比如图8,我们尝试把圆分成修长的短条,也就是长方形的组合。

虽说如此,但既然说到了符号,从现在开端我们就尝试应用积分符号吧。公式也会从此处开端涌现,不过内容和刚才的讲授是完整一致的,所以请轻松地读下去。和业界人士应用行业术语讲话一样,应用数学符号讲授数学,雷同的内容在表达上也会看起来非常优雅。

在图9中,我们把圆裁切成非常窄的短条。程度方向为x轴。这时,圆的裁切方向和x轴正好是垂直关系。

在此基本之上,我们选取一条宽度为x的短条。是希腊字母,读作“德尔塔”(Delta),多用作“差”(difference)的符号,表现非常小的数值。

现在,我们用公式来表现这条短条的面积。

短条的面积=短条在x值对应的长度x

若问为什么要算出短条面积,这是因为我们要从这里开端盘算圆的面积。把这些修长短条的面积相加,就是圆的面积。具体来说,把从左端到右端的短条全体相加就可以了。

在这里,我们逐渐缩小短条的宽度,缩小到再也不能缩小的水平。这样一来,短条与其说是长方形,倒不如说看起来更像“一条线”。无数根“线”相加,其成果逐渐接近“圆的面积”。用积分符号来表现的话,可以写成以下情势。

公式中那个像把字母S纵向拉长的符号音同integral(积分)。积分本来就是“和”的意思,因此积分符号也是取自拉丁语中“和”的单词Summa的首字母S。这是一位叫作莱布尼茨的数学家(兼哲学家)提出的。

在此简略弥补一点儿德尔塔()和d的内容。

和d,这两个符号都源于“差”(difference)。二者的不同之处在于,是“近似值”,而英文小写字母d是“准确值”。

“准确值”是什么意思呢?例如圆周率,3.14是其近似值,无穷循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“准确值”。近似值在某种情形下一定是不准确的,而准确值在任何情形下都是准确的。

所以,我们可以这样懂得dx:“将本来用短条宽度x盘算的数值,看作趋向于0的‘准确值’。”

总结一下,德尔塔()和英文小写字母d分离在以下情形中应用。

德尔塔()——当存在宽度(宽度大于0)之时。

英文小写字母d——当宽度趋向于0,盘算极限数值时。

另外,虽然微积分中会涌现各种各样的公式、符号,不过初学者最开端不太懂得这些东西也没有关系,对和d也同样如此。

感到和逻辑

初中入学测验中的积分

我们来思考两方面内容:“有效分割图形的办法”和“积分符号的应用办法”。百思特网为了便于讲授,我选取了初中入学测验试题,并尝试应用积分办法解答。

下面,我们将接触到旋转体。旋转体的体积是日本高中教科书中一定会涌现的内容,初中入学测验中则常常会涌现简略的旋转体标题,例如下面的标题。

如图所示,存在一个半径为2 cm的圆板,距离该圆板圆心4 cm处存在一条竖轴,让圆板以竖轴为轴旋转一周,求出此时所形成的图形的体积。

标题出自日本东海大学从属高轮台高级学校中等部2007年入学测验试题,内容表述有部分修正。

该如何解答这个问题?

圆板绕轴旋转一周,这时会变成什么样的图形呢?

如图43所示,圆板旋转后就变成了这种甜甜圈形。这种甜甜圈的形状在数学中被称作圆环体。

为了盘算出圆环体的体积,我们来寻找最朴实的“积分”法。那什么样的办法最有效呢?

如图44所示, 我们可以斟酌从程度方向切割圆环体。

如图45所示,切割圆环体所得的截面如同从一个大圆中挖去了一个同心的小圆。求截面面积的话,只要知道大圆和小圆的半径就可以了。盘算办法和盘算钵体截面面积时的雷同。

难点在于,圆的半径该如何盘算呢?

下面来尝试将我们的思路画到标题给出的图中。取旋转轴为x轴,并将各个点标注上字母(图46)。

在x轴取点H。这样一来,图45截面上的两个圆,大圆的半径为AH,小圆的半径为BH。

实际上,我们的思路中最症结的一点在于“用H的高度去切割圆环体”。着眼于这点就可以发明:我们可以应用勾股定理。

接着,设点A、点B的中点为M。这时,依据勾股定理可知,AM(BM)的长为根号下4−x2。也就是说,大圆的半径AH为

小圆的半径BH为

具体的盘算进程在此省略。

圆环体的体积可以看作是,在从下面(x=−2)到上面(x=2)的规模内,众多厚度为x的截面积(薄切片)的组合(截面积之和)。应用积分符号,可以用如下表现:

这样一来,我们就求出了圆环体的体积。

我们来思考一下这个式子中“有意义的部分”。从整体构造看,16可以最后乘进去,所以可以先不管它。首百思特网先应当求的部分是

但是,这种方法并非能轻易想到。所以,在目前的阶段,大家可不必过火在意,先持续往下读百思特网。

也就是说,这个积分式子的答案和图48的半圆面积相等。即为

然后再乘以刚才跳过的16,可得圆环体的体积为

圆环体看上去像是两个圆相乘形成的图形,在其体积盘算中涌现的2次方确切非常有趣。在数学中,圆环体被定义为“圆和圆的笛卡儿积(精确来说,是圆环和圆周的笛卡儿积)”。说圆环体是两个圆相乘的图形,可谓恰如其文字之意——不,是恰如数字之意。

像小学生那样求圆环体体积

前文说到的求解办法可以说是大人的解题办法。但是,这种办法很难向连勾股定理和积分符号都不知道的小学生说明。

不用前文的办法,该怎样分割呢?合适向小学生讲授的办法是“分割成细方格来求圆的面积”。但是,逐一数方格数目会相当消费时光,所以我们来试一试新的办法。

为了转换思路,这里我先介绍一下“把圆分成扇形求圆面积的办法”。我们的目的是求圆环体的体积,但这一目的可以通过应用与“把圆分成扇形求圆面积的办法”相似的思路来实现。圆环体是立体图形,所以很难整体去想象,不过若是圆的话便容易形象化了。

如图49所示,将圆分成渺小的扇形,然后让扇形高低交叉相互交织排列。由此,我们便得到了一个“平行四边形”。

当然,扇形的弧是曲折的,所以形成的平行四边形也有些曲折。但是,如果逐渐分割出更加渺小的扇形,就几乎看不见曲折的弧了,到了最后我们差不多就可以将弧看作直线段。通过无穷分割出更小的扇形,平行四边形的准确度会大幅晋升。这时,平行四边形的高就会恰好等于圆的半径,底边则等于圆周长的一半(半径)。也就是说,平行四边形的面积接近等于“半径半径”。因此,圆的面积也就等于“半径半径”。

以上内容即为推导圆面积公式的“小学生式”办法。

把甜甜圈变成蛇的办法

联合前文推导圆面积的“小学生式”办法,下面我们开端研讨圆环体的体积。依然是用雷同的思路,想方法分割圆环体。这次我们不程度分割了,来试试从垂直方向分割(图50)。

垂直分割圆环体后,所得的截面正好是小小的圆。

为了进一步研讨截面的圆,我们先将其8等分。然后应用圆分割后的扇形交织排列的技能,相互交织排列圆环体。

这样一来,圆环体就会被重构成弯曲折曲的蛇形。

在这里应用的模型是美仕唐纳滋的白巧克力米粉甜甜圈。不用甜甜圈的话,用百吉圈也可以。先将甜甜圈8等分,如图53。

把切好的甜甜圈交织排列,就会形成以下图形(图54)。

可以看到,重新排列后的甜甜圈确切变成了蛇形的立体图形。

在这里我们是将甜甜圈8等分,如果进行更加精致的分割,如100等分、200等分……蛇形的立体图形会更加接近圆柱形(横倒的圆柱形)。

也就是说,如图51所示,圆柱的底面是半径为2的圆,而高则是半径为4的圆的周长(圆环绕竖轴旋转一周的圆心轨迹长度),即8。

因此,我们所求的圆环体体积,就转化成了(原创版权www.isoyu.com)底面积为2、高为8的圆柱(图55)的体积,即为

圆周率可以约等于3.14,代入3.14,可以求出圆环体的体积为315.507 2 cm。

我们顺便来求一下白巧克力米粉甜甜圈的体积,甜甜圈截面圆的半径为1.5 cm,甜甜圈的直径为8 cm。

也就是说,图51中画粗线的圆的半径为82-1.5=2.5 cm。因此,甜甜圈的体积等于底面积为1.5、高为22.5 cm的圆柱的体积,即为

这大概和棱长为4.8 cm的立方体体积相当。

帕普斯—古尔丁定理

在日本中学的入学测验中,存在一个求旋转体体积的“秘技”——帕普斯—古尔丁定理。

下面我们应用这个定理盘算旋转体的体积。

在前面的圆环体中,“旋转的平面图形”是半径为2的圆,其面积为22=4。

接着是“旋转面重心所经过的距离”,这道题里的“重心”大家可以懂得为是“旋转体的正中央”。重心经过的距离等同于圆柱的高,所以是42=8。

把这些数据代入帕普斯—古尔丁定理,可得“旋转体的体积”为48=32。

不少机警的小学生都知道这个“秘技”,在实际的测验中确定也有考生应用这个定理。但是,真正要来说明这个盘算原理,如大家所见,还真不是一件容易的事情。

将圆环体变形成圆柱,我们可以从这个进程中窥得积分的要领。

实际上,应用雷同的办法也可以盘算圆环体的“表面积”。

在图55中能够确认,圆环体的表面积等于“底面半径为2、高为8的圆柱的侧面积”。因此,半径为2的圆的周长为22=4,再乘以8,则圆环体的表面积就等于32。顺便说一下,这里的表面积和体积相等(都是32),只是一个偶然。

另外,应用将圆环体变形为圆柱的办法,也能轻松推导出圆环体的体积和表面积的公式。

如图56所示,取r和R(R>r)使之环绕轴旋转形成圆环体。将半径为r的灰色圆板称为小圆,则圆环体的体积和表面积的公式如下:

体积=小圆的面积(r) 小圆圆心经过的距离(2R) =2rR

表面积=小圆的周长(2r)小圆圆心经过的距离(2R)=4rR

表面积的这种盘算办法只要懂得了就会认为非常简略,但若应用其他盘算办法就会比拟麻烦,须要用到多重积分这种大学程度的积分知识。分割办法,让积分可易可难。

反过来说,那些看起来庞杂艰苦的问题,仅仅通过火割的办法,就能转化为小学生也可以解开的问题了。


积分在运用时,数值盘算多会应用盘算机来处置。实际上,把具体的积分式子写出来并盘算的情形少之又少。盘算机盘算积分问题,除了技巧上的运行处置外,剩下其实都是在“求取所有分割面积(或者长度、体积)的总和”。

说到底,积分可以说就是求取“分割部分之和”,并无其他特殊内容。一旦可以写出积分的式子,那么数值盘算就很简略了。

将各种各样的量用积分的式子表达出来,这才是我们须要控制的必要才能。

——本文选自《简略微积分:学校未教过的超简易入门技能》

书中以微积分的“思考办法”为核心,以生涯例子通俗讲授了微积分的根本原理、公式推导以及实际运用意义,解答了微积分初学者遭受的常见迷惑。没有烦琐盘算、干涩理论,是一本只需“轻松浏览”便可以懂得微积分原理的入门书。

第1章 积分是什么

积分的存在意义

两个思想试验

切口的机密

感到和逻辑

第2章 微分是什么

微分存在的意义

丰硕多彩的函数世界

有预谋地应用微分

第3章 探寻微积分的可能性

1800年后的本相

填坑

曲折也没问题

微积分的真身


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