平方和公式(自然数平方和公式)
我们都知道自然数平方和的公式,用数学归纳法证明很容易。
连续自然数的平方和
但是它是怎么衍生出来的呢?恐怕很多人都不知道。推导方法有很多。我们来看看外国大神的方法,其实就是利用三角形的重心。可以说是别出心裁。
假设有1+2+...平面上+n个球,每个球的质量为1。它们均匀地排列成一个倒等边三角形,如下图所示。为了计算方便,我们把底球放在坐标(0,1)处。
等边三角形阵列
三角形数组整体计算和考虑其重心的Y坐标有两种方式。
第一技术资源网的一种方法,直接计算所有球的Y坐标的平均值。计算过程如下:
用平均坐标法求重心位置
第二种方式,我们知道三角形的重心是三条中线的交点,这个交点把每条中线分成两个1: 2的线段。
重心是高度的2/3。
而所有三角形的高度都是n-1,所以它重心的Y坐标是:
应用几何定理求重心位置。
两种计算方法的结果必须相等,所以我们得到:
自然数平方和公式的推导
这个技术资源网的推导过程很优秀,数学真的很神秘!