关于悖论，我们首先要了解什么是悖论。在《数学百科词典》中，对悖论的解释是这样的:当可以得出与一般判断相反的结论，并且很难给出推翻它的正当依据时，这种说法就被称为悖论。其实简单来说，所谓悖论就是从这样一个命题A，可以推导出另一个命题B，但这个2021-09-29 本身就有一个矛盾的现象:如果B是真的，那么B就是假的；如果b为假
关于悖论，我们首先要了解什么是悖论。
在《数学百科词典》中，对悖论的解释是这样的:当可以得出与一般判断相反的结论，并且很难给出推翻它的正当依据时，这种说法就被称为悖论。其实简单来说，所谓悖论就是从这样一个命题A，可以推导出另一个命题B，但这个2021-09-29 本身就有一个矛盾的现象:如果B是真的，那么B就是假的；如果b为假，则推断b为真。
而划分认知悖论，可以分为这三类:
（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
如果你还没有理解，我们来谈谈一些熟悉的悖论。首先，我想和大家分享最熟悉的堂吉诃德悖论。
著名小说《唐吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
有一天，一个游客来到这个国家，回答了上面的问题，他回答说:“我是来被绞死的。”如果游客的回答是正确的，根据法律，他不应该被绞死；如果游客的回答是错的，就应该依法绞死他，还有他的“我是来被绞死的。”这句话显然又对了，不应该吊死。最后，国王别无选择，只能放游客走。
此外，我们应该记住理发师悖论和祖父悖论。
巴伯悖论
这是罗素集合悖论的一种通俗说法：萨维尔村里的一名理发师，给自己立了一条店规：“只给自己不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师的脸该不该由自己刮呢？如果理发师的脸由他自己刮，则他属于“自己给自己刮脸的人”，因此，理发师不应该给自己刮脸；如果理发师的脸不由自己刮，则他属于“自己不给自己刮脸的人”，因此，他的脸可由自己刮，显然又与上述“自己不给自己刮脸的人”相矛盾。
祖父悖论
祖父悖论，又称“祖母悖论”，是时间旅行的悖论，是百思买网络科幻小说中常见的主题。它最早是由法国科幻作家任·巴贾维尔在1943年的小说《轻率的旅行者》中提出的。场景如下:
假设你回到过去，在你父亲出生之前杀了你的祖父母；因为你爷爷奶奶去世了，就没有父亲了。没有你的父亲，你不会出生；如果你没有出生，没有人会杀你的祖父母。如果没人杀你爷爷奶奶，你就会存在，回到过去杀你爷爷奶奶，于是矛盾就产生了。
接下来，我们继续讨论与三次数学危机相关的悖论。
(www.isoyu.com原创版权)1、二分法悖论
故事是这样的。假设在到达目的地之前，一个人必须走1/2的路程，然后走剩余总路程的1/2，然后走剩余的1/2...根据这个要求，他可以无限期地继续下去。。。
所以有两种情况:(1)这个人根本没有开始；只要他出发，他就永远不会到达终点。(虽然离终点越来越近)
其实现在想想，这个悖论在逻辑上是错误的。
2.贝克勒悖论
17世纪，牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分，给全世界的数学发展带来了新的曙光。然而，就在这个时候，他们跳出来指出了这样一个问题:
1734年，英国哲学家乔治·贝克勒出版了一本名为《一个不信的数学家的分析师或降临》的书。
在这本书里，贝克勒抨击了牛顿的理论，指出当求x的导数时，会有以下矛盾:
贝克勒认为这是依靠双重错误获得的不科学但正确的结果。
但是，这个问题并没有阻碍微积分的发展。随着拉格朗日、柯西等数学家的改进，微积分仍然是当前数学研究的重要基础内容。
3.罗素悖论
1900年，在国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱高调宣称:”...借助集合论的概念，我们可以建造整个数学大厦...今天，我们可以说绝对的严格已经达到了……”
然而，罗素提出了一个悖论:
所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。
如果不能理解这个悖论，请直接参考巴伯悖论。
危机爆发后的很长一段时间，数学家试图限制“集合论”的定义，从而消除悖论。然而，它不能消除悖论的可能性。
直到1931年，哥德尔提出了一系列不完全定理并加以证明。
①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。
②如果一个形式系统包含初等数论，当系统是自洽的(所有公理都不矛盾)时，它的自洽性在系统中无法证明。